数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 連結性 - 必要条件、部分集合、境界、空集合、背理法

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.3(連結性)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   A を 空ではなく、 X 自身でもない X の部分集合とする。

   A の境界が空集合と仮定する。

   $A^f=\varphi$

   このとき、

   $A=A\backslash A^f=A^i$

   なので A は開集合である。

   また、

   $A^c={(\stackrel{-}{A}\backslash A^f)}^c={(\stackrel{-}{A}\backslash \varphi )}^c={\left(\stackrel{-}{A}\right)}^c$

   なので、 A の補集合は開集合である。

   また、

   $A\cap A^c=\varphi ,A\cup A^c=X$

   ゆえに、 X が連結であることと矛盾。

   よって、 A の境界は空集合ではない。

   $A^f\ne \varphi$

   （証明終）