数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明、差、因数分解

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題14.の解答を求めてみる。

1. $a^{3} + b^{3} - a^{2} b - a b^{2}$
  
  $= {(a + b)}^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} - a^{2} b - a b^{2}$
  
  $= {(a + b)}^{3} - 4 a b (a + b)$
  
  $= (a + b) ({(a + b)}^{2} - 4 a b)$
  
  $= (a + b) (a^{2} + b^{2} - 2 a b)$
  
  $= (a + b) {(a - b)}^{2}$
  
  $\geq 0$
  
  よって
  
  $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$
  
  （証明終）
2. $2 (a^{5} + b^{5}) - (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3})$
  
  $= 2 (a^{5} + b^{5}) - (a^{5} + a^{2} b^{3} + a^{3} b^{2} + b^{5})$
  
  $= a^{5} + b^{5} - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2}$
  
  $= {(a + b)}^{5} - 5 a^{4} b - 10 a^{3} b^{2} - 10 a^{2} b^{3} - 5 a b^{4} - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2}$
  
  $= {(a + b)}^{5} - 5 a^{4} b - 11 a^{3} b^{2} - 11 a^{2} b^{3} - 5 a b^{4}$
  
  $= {(a + b)}^{5} - a b (5 a^{3} + 11 a^{2} b + 11 a b^{2} + 5 b^{3})$
  
  $= {(a + b)}^{5} - a b (5 a^{3} + 15 a^{2} b + 15 a b^{2} + 5 b^{2} - 4 a^{2} b - 4 a b^{2})$
  
  $= {(a + b)}^{5} - a b (5 {(a + b)}^{3} - 4 a b (a + b))$
  
  $= (a + b) ({(a + b)}^{4} - a b (5 {(a + b)}^{2} - 4 a b))$
  
  $= (a + b) (a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} - a b (5 a^{2} + 6 a b + 5 b^{2}))$
  
  $= (a + b) (a^{4} - a^{3} b - a b^{3} + b^{4})$
  
  $= (a + b) (a^{3} (a - b) - b^{3} (a - b))$
  
  $= (a + b) (a - b) (a^{3} - b^{3})$
  
  $= (a + b) {(a - b)}^{2} (a^{2} + a b + b^{2})$
  
  $\geq 0$
  
  よって、
  
  $2 (a^{5} + b^{5}) \geq (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3})$
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import a, b print('14.') p = plot3d( a ** 3 + b ** 3, a ** 2 + b + a * b ** 2, (a, 0, 5), (b, 0, 5), show=False ) p.xlabel = a p.ylabel = b p.save('sample14_1.png') p = plot3d( 2 * (a ** 5 + b ** 5), (a ** 2 + b ** 2) * (a ** 3 + b ** 3), (a, 0, 5), (b, 0, 5), show=False ) p.xlabel = a p.ylabel = b p.save('sample14_2.png') p.show()

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2020年8月5日水曜日

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