数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明、平方、式の変形、展開、差

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)の練習問題16.の解答を求めてみる。

1. $A B - x y$
  
  $= \frac{a x + b y}{a + b} \cdot \frac{b x + a y}{a + b} - x y$
  
  $= \frac{a b x^{2} + (a^{2} + b^{2}) x y + a b y^{2}}{{(a + b)}^{2}} - x y$
  
  $= \frac{a b x^{2} + (a^{2} + b^{2} - {(a + b)}^{2}) x y + a b y^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $= \frac{a b x^{2} - 2 a b x y + a b y^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $= \frac{a b (x^{2} - 2 x y + y^{2})}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $= \frac{a b {(x - y)}^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $\geq 0$
  
  よって、
  
  $A B \geq x y$
  
  （証明終）
2. $(A^{2} + B^{2}) - (x^{2} + y^{2})$
  
  $= {(\frac{a x + b y}{a + b})}^{2} + {(\frac{b x + a y}{a + b})}^{2} - x^{2} - y^{2}$
  
  $= \frac{(a^{2} + b^{2}) x^{2} + 4 a b x y + (a^{2} + b^{2}) y^{2}}{{(a + b)}^{2}} - x^{2} - y^{2}$
  
  $= \frac{(a^{2} + b^{2} - {(a + b)}^{2}) x^{2} + 4 a b x y + (a^{2} + b^{2} - {(a + b)}^{2}) y^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $= \frac{- 2 a b x^{2} + 4 a b x y - 2 a b y^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $= \frac{- 2 a b {(x - y)}^{2}}{{(a + b)}^{2}}$
  
  $\leq 0$
  
  よって、
  
  $x^{2} + y^{2} \geq A^{2} + B^{2}$

#!/usr/bin/env python3 from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import x, y print('16.') a = 2 b = 3 A = (a * x + b * y) / (a + b) B = (b * x + a * y) / (a + b) p = plot3d(A * B, x * y, show=False) p.xlabel = x p.ylabel = y p.save('sample16_1.png') p = plot3d(x ** 2 + y ** 2, A ** 2 + B ** 2, show=False) p.save('sample16_2.png') p.show()

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2020年8月7日金曜日

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