数学 - Python - 解析学 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 昆虫の動き、曲面、微分可能な曲線、位置ベクトル、速度ベクトル、角、余弦、平面との距離、増加

続 解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題25の解答を求めてみる。

25. 
    
    $z{\left(t\right)}^2=1+x{\left(t\right)}^2-y{\left(t\right)}^2$

    $2z\left(t\right)z\text{'}\left(t\right)=2x\left(t\right)x\text{'}\left(t\right)-2y\left(t\right)y\text{'}\left(t\right)$

    $x\left(t\right)x\text{'}\left(t\right)=y\left(t\right)y\text{'}\left(t\right)+z\left(t\right)z\text{'}\left(t\right)$

    $B\left(t\right)·B\text{'}\left(t\right)$

    $=(x\left(t\right),y\left(t\right),z\left(t\right))·(x\text{'}\left(t\right),y\text{'}\left(t\right),z\text{'}\left(t\right))$

    $=x\left(t\right)x\text{'}\left(t\right)+y\left(t\right)y\text{'}\left(t\right)+z\left(t\right)z\text{'}\left(t\right)$

    $=2x\left(t\right)x\text{'}\left(t\right)$

    yz- 平面との距離について。

    $x\text{'}\left(t\right)=\frac{B\left(t\right)·B\text{'}\left(t\right)}{x\left(t\right)}=\frac{\parallel B\left(t\right)\parallel \parallel B\text{'}\left(t\right)\parallel }{x\left(t\right)}\cos \theta >0$

    なので、 x 座標が正ならば、 x は常に増加する。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import solve
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import t, x, y, z

print('25.')

eq = z ** 2 - (1 + x ** 2 - y ** 2)
zs = solve(eq, z)

p = plot3d(*zs, show=False)
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save('sample25.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample25.py
25.
%