数学 - Python - 解析学 - ベクトルの微分 - 微分係数 - パラメーター曲線、位置ベクトル、速度ベクトル、角、余弦、内積、ノルム、定数

続 解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題24の解答を求めてみる。

24. 
    
    $X\text{'}\left(t\right)$

    $=(2·\frac{1+t^2-t·2t}{{(1+t^2)}^2},\frac{-2t(1+t^2)-(1-t^2)·2t}{{(1+t^2)}^2},0)$

    $=(\frac{2(1-t^2)}{{(1+t^2)}^2},\frac{2t(-2)}{{(1+t^2)}^2},0)$

    位置ベクトルと速度ベクトルの間の角の余弦。

    $\cos \theta$

    $=\frac{X\left(t\right)·X\text{'}\left(t\right)}{\parallel X\left(t\right)\parallel \parallel X\text{'}\left(t\right)\parallel }$

    $=(\frac{2^{2}t(1-t^2)}{{(1+t^2)}^3}+\frac{-2^{2}t(1-t^2)}{{(1+t^2)}^3})·\frac{1}{\parallel X\left(t\right)\parallel \parallel X\text{'}\left(t\right)\parallel }$

    $=0$

    よって、 定数である。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, Derivative
from sympy.abc import t

print('24.')

X = Matrix([2 * t / (1 + t ** 2), (1 - t ** 2) / (1 + t ** 2), 1])
X1 = Derivative(X, t, 1).doit()


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            (X.dot(X1) / (X.norm() * X1.norm())).simplify(),
            0
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py -v
24.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.575s

OK
%