数学 - 圏論 - 序論 - 線型空間、線型写像、錐、恒等写像、同型写像、同型、普遍性

ベーシック圏論
普遍性からの速習コース
原著
楽天ブックス Yahoo!

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • 圏論の基礎
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ベーシック圏論 普遍性からの速習コース (Tom Leinster(著)、斎藤 恭司(監修)、土岡 俊介(翻訳)、丸善出版)の序論、演習問題0.14-(b)の解答を求めてみる。

14. 
    
    2. 
       
       $\left(P\text{'},p_1\text{'},p_2\text{'}\right)$

       の普遍性により、

       $p_1\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i=p_1\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->p_2\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i=p_2$

       を満たす線型写像、

       $i:P\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->P\text{'}$

       がただ一つ存在する。

       逆に、 同様に

       $\left(P,p_1,p_2\right)$

       の普遍性により、

       $p_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\text{'}=p_1\text{'}\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->p_2\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\text{'}=p_2\text{'}$

       と満たす線型写像

       $i\text{'}:P\text{'}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->P$

       がただ 1つ存在する。

       図式を書いてみる。

       このとき、

       $\begin{array}{l}{p}_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\left(i\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\right)\\ =\left(p_1\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\text{'}\right)\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\\ =p_1\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\\ =p_1\end{array}$

       同様に、

       $p_2\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\left(i\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\right)=p_2$

       よって、

       $i\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i=i{d}_P$

       同様にして、

       $i\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->i\text{'}=i{d}_{P\text{'}}$

       ゆえに、 i は同型写像、すなわち P と P'は同型。

       したがって、 問題(a)で述べた普遍性をもつ錐は本質的にただ1つ存在する。

       （証明終）