数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 数学的帰納法 - 関数の累乗の導関数、合成関数の微分法、累乗の微分法

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、2.(数学的帰納法)、問2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $g\left(x\right)=x^n$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}{\left(f\left(x\right)\right)}^n\\ =g{\left(f\left(x\right)\right)}^n\end{array}$

   よって、 (D)より、

   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}{\left(f\left(x\right)\right)}^n\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}g{\left(f\left(x\right)\right)}^n\\ =g\text{'}\left(f\left(x\right)\right)f\text{'}\left(x\right)\end{array}$

   また、 （5）より

   $g\text{'}\left(x\right)=n{x}^{n-1}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}{\left(f\left(x\right)\right)}^n\\ =n{\left(f\left(x\right)\right)}^{n-1}f\text{'}\left(x\right)\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative

print('2.')

x = symbols('x')
f = Function('f')(x)
n = symbols('n', integer=True, nonzero=True)
df1 = Derivative(f ** n, x, 1)
df2 = n * f ** (n - 1) * Derivative(f, x, 1)

for o in [df1, df1.doit(), df1.doit().simplify() == df2.simplify()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
d ⎛ n   ⎞
──⎝f (x)⎠
dx       

   n    d       
n⋅f (x)⋅──(f(x))
        dx      
────────────────
      f(x)      

True

$