数学 - Python - 微分積分学 - 微分法 - 曲線、接線、法線、垂線、接線影、法線影、長さ

微分積分学
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のI.(微分法)、演習問題 I.、27の解答を求めてみる。

27. 
    

    点 P における接線の方程式。

    $\begin{array}{l}P=\left(p,f\left(p\right)\right)\\ y-f\left(p\right)=f\text{'}\left(p\right)\left(x-p\right)\end{array}$

    法線の方程式。

    $y-f\left(p\right)=-\frac{1}{f\text{'}\left(p\right)}\left(x-p\right)$

    点 T は、

    $\left(\frac{-f\left(p\right)}{f\text{'}\left(p\right)}+p,0\right)$

    点 M は、

    $\left(p,0\right)$

    点 N は、

    $\left(f\text{'}\left(p\right)f\left(p\right)+p,0\right)$

    接線影 の長さは、

    $\begin{array}{l}\left|\stackrel{-}{TM}\right|\\ =\left|\frac{-f\left(p\right)}{f\text{'}\left(p\right)}+p-p\right|\\ =\left|\frac{f}{f\text{'}}\right|\\ =\left|\frac{y}{y\text{'}}\right|\end{array}$

    法線影の長さは、

    $\begin{array}{l}\stackrel{-}{MN}\\ =\left|p-f\text{'}\left(p\right)f\left(p\right)\right|\\ =\left|f\text{'}f\right|\\ =\left|yy\text{'}\right|\end{array}$

    接線の長さは、

    $\begin{array}{l}\frac{}{PT}\\ =\sqrt{{\left(\frac{-f\left(p\right)}{f\text{'}\left(p\right)}+p-p\right)}^2+f{\left(p\right)}^2}\\ =\left|\frac{f\left(p\right)}{f\text{'}\left(p\right)}\right|\sqrt{1+f\text{'}{\left(p\right)}^2}\\ =\frac{y}{y\text{'}}\sqrt{1+{\left(y\text{'}\right)}^2}\end{array}$

    法線の長さは、

    $\begin{array}{l}\left|\stackrel{-}{PN}\right|\\ =\sqrt{{\left(ff\text{'}+p-p\right)}^2+f^2}\\ =\left|f\right|\sqrt{1+{\left(f\text{'}\right)}^2}\\ =\left|y\sqrt{1+{\left(y\text{'}\right)}^2}\right|\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, solve, sqrt

print('27.')

x = symbols('x')
f = x ** 2
px = 1
m = Derivative(f, x, 1).doit()
g = m.subs({x: px}) * (x - px) + f.subs({x: px})
h = -1 / m.subs({x: px}) * (x - px) + f.subs({x: px})

for o in [g, h]:
    pprint(solve(o))
    print()

p = plot(f, g, h,
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample27.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample27.py
27.
[1/2]

[3]


c:\Users\...>