数学 - Python - 微分積分学 - 微分法の公式 - 導関数の求め方 - 有理式(分数式)、極値、重根

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅡ.(微分法の公式)、6.(導関数の求め方)、演習問題23の解答を求めてみる。

23. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\\ =\frac{P\text{'}\left(x\right)Q\left(x\right)-P\left(x\right)Q\text{'}\left(x\right)}{{\left(Q\left(x\right)\right)}^2}\end{array}$

    仮定より、

    $\lambda$

    で関数は極値なので、その極値をとる x の値を aとすると、

    $\begin{array}{l}\frac{P\left(a\right)}{Q\left(a\right)}=\lambda \\ \frac{P\text{'}\left(a\right)Q\left(a\right)-P\left(a\right)Q\text{'}\left(a\right)}{{\left(Q\left(a\right)\right)}^2}=0\\ P\left(a\right)=\lambda Q\left(a\right)\\ P\left(a\right)-\lambda Q\left(a\right)=0\\ P\text{'}\left(a\right)Q\left(a\right)-P\left(a\right)Q\text{'}\left(a\right)=0\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(P\left(x\right)-\lambda Q\left(x\right)\right)\\ =P\text{'}\left(x\right)-\lambda Q\text{'}\left(x\right)\end{array}$

    となり、 x に a を代入すると、

    $\begin{array}{l}P\text{'}\left(a\right)-\lambda Q\text{'}\left(a\right)\\ =\frac{P\left(a\right)Q\text{'}\left(a\right)}{Q\left(a\right)}-\lambda Q\text{'}\left(a\right)\\ =\left(\frac{P\left(a\right)}{Q\left(a\right)}-\lambda \right)Q\text{'}\left(a\right)\\ =\left(\lambda -\lambda \right)Q\text{'}\left(a\right)\\ =0\end{array}$

    ゆえに問題2により、関数

    $P\left(x\right)-\lambda Q\left(x\right)=0$

    は重根を有する。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot
import random
print('23.')

x = symbols('x')
a = 2
m = 3
n = 2
p = random.randrange(-5, 5) * (x - a) ** 2 * \
    sum([random.randrange(-5, 5) * x ** k for k in range(0, m - 1)])
q = sum([random.randrange(-5, 5) * x ** k for k in range(n)])
f = p / q
l = f.subs({x: a})
g = p - l * q
d = Derivative(f, x, 1).doit()
for o in [p, q, f, l, d, d.subs({x: a})]:
    pprint(o)
    print()
p = plot(p, q, f, l, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample23.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample23.py
23.
          2          
-2⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1)

-2⋅x - 5

          2           
-2⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1) 
──────────────────────
       -2⋅x - 5       

0

           2                                    2          
  4⋅(x - 2)    2⋅(2⋅x - 4)⋅(2⋅x + 1)   4⋅(x - 2) ⋅(2⋅x + 1)
- ────────── - ───────────────────── - ────────────────────
   -2⋅x - 5           -2⋅x - 5                       2     
                                           (-2⋅x - 5)      

0

$