数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数 - 絶対値、累乗(べき乗、平方)、累乗根(立方根)、至る所で連続

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、1.(連続関数)、問1、2.の解答を求めてみる。

$x < 0$

のとき、

$\begin{array}{l} f (x) \\ = |x| \\ = - x \\ f' (x) = - 1 \end{array}$

よって微分可能なので連続である。

$x > 0$

のときも同様。

$x = 0$

の場合について。

$f (0) = 0$

また、

$\begin{array}{l} h > 0 \\ h \to 0 \Rightarrow f (0 + h) = f (h) \to 0 \\ h < 0 \\ h \to 0 \Rightarrow f (0 + h) = f (h) \to 0 \end{array}$

よって、 0においても連続である。

ゆえに、

$|x|$

はいたるところで連続である。

（証明終）

$\begin{array}{l} f (x) = x^{\frac{2}{3}} \\ f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \\ = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \end{array}$

よって、

$x \neq 0$

で微分可能なので連続である。

$x = 0$

の場合について。

$\begin{array}{l} f (0) = 0^{\frac{2}{3}} = 0 \\ h \to 0 \Rightarrow f (0 + h) = h^{\frac{2}{3}} = {(h^{2})}^{\frac{1}{3}} \to 0 \end{array}$

よって、連続である。

ゆえに、いたるところで連続である。

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, Derivative, plot, solve, Rational, Limit print('1.') x, h = symbols('x, h') f = abs(x) g = x ** Rational(2, 3) class MyTest(TestCase): def setUp(self): pass def tearDown(self): pass def test_abs(self): for d in ['+', '+']: l = Limit(f.subs({x: 0 + h}) - f.subs({x: 0}), h, 0, dir=d) self.assertEqual(l.doit(), f.subs({x: 0})) def test_cubic_root(self): for d in ['+', '+']: l = Limit(f.subs({x: 0 + h}) - f.subs({x: 0}), h, 0, dir=d) self.assertEqual(l.doit(), f.subs({x: 0})) print('2.') p = plot(f, ylim=(-10, 10), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample1.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

Kamimura's blog

2019年10月13日日曜日

数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数 - 絶対値、累乗(べき乗、平方)、累乗根(立方根)、至る所で連続

0 コメント:

コメントを投稿