数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 上限と下限 - 閉区間、連続関数、開区間、微分可能、最大値、最小値、必要条件

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、4.(上限と下限)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   

   関数

   $f\left(x\right)=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$

   は閉区間

   $\left[-1,1\right]$

   で連続でかつ開区間

   $\left(-1,1\right)$

   で微分可能である。

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\\ =\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-x^2}}\end{array}$

   これが0に等しい場合を求める。

   $\begin{array}{l}\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}=0\\ 1-x=1+x\\ x=0\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}f\left(0\right)=2\\ f\left(-1\right)=\sqrt{2}\\ f\left(1\right)=\sqrt{2}\end{array}$

   よって最大値、新小値はそれぞれ

   $\begin{array}{l}2\\ \sqrt{2}\end{array}$

   である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, sqrt, Derivative, solve

print('2.')

x = symbols('x')
f = sqrt(1 + x) + sqrt(1 - x)
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()

for o in [f, f1, solve(f1, x)]:
    pprint(o)
    print()

p = plot((f, (x, -0.99999, 0.999999)),
         *[(c, (x, -2, 2)) for c in [sqrt(2), 2]],
         ylim=(0, 4),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
  _______     _______
╲╱ 1 - x  + ╲╱ x + 1 

     1             1     
─────────── - ───────────
    _______       _______
2⋅╲╱ x + 1    2⋅╲╱ 1 - x 

[0]

%