数学 - 田中康友(タナカ)さんのブログ、数学で行こうの数学的帰納法は大丈夫なのだの三つ目の疑問についてコメント投稿

集合論
田中康友(著)

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田中康友(タナカ)さんのブログ、数学で行こうの記事、 数学的帰納法は大丈夫なのだの三つ目の疑問についての命題を考えてみた。

数列、

${\left(a_n\right)}_{n\in N}$

を

$n\in \text{ℕ}\backslash \left\{10\right\}$

の場合、

$a_n=n$

また、

$a_{10}=0$

と定める。

次の命題を考える。

任意の自然数に対して

$a_n=n$

が成り立つ。

この命題について、

$k=9$

の場合、

$a_9=9$

なので命題は成り立つが、k + 1の場合、

$\begin{array}{l}k+1=9+1=10\\ a_{k+1}=a_{10}=0\ne 10=k+1\end{array}$

なので命題は成り立たない。

よって 、 k のときに正しくて、 k + 1のときに正しくない命題は存在する。

（証明終）

ということで、 三つ目の疑問は解消。(単純すぎて、循環論法になってないかちょっと心配。)

この証明に限らず、証明やその方法について、深入りしすぎたくないけど、ちょっと詳細を覗いてみたい場合は、数学にとって証明とはなにかを読んでみるのがお勧め。