数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 関数値の変動と導関数 - 閉区間、連続、二つの関数、等しい導関数、定数、差

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、6.(関数値の変動と導関数)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   

   点 a において、

   $C=f\left(a\right)-g\left(a\right)$

   とおく。問題の仮定より半開区間

   $\left(a,b\right]$

   の点 x において、

   $\begin{array}{l}0<\theta <1\\ f\left(x\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)\left(x-a\right)\\ g\left(x\right)=g\left(a\right)+g\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)\left(x-a\right)\\ f\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)=g\text{'}\left(a+\theta \left(x-a\right)\right)\\ f\left(x\right)=f\left(a\right)\\ g\left(x\right)=g\left(a\right)\\ f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ =f\left(a\right)-g\left(a\right)\\ =C\end{array}$

   よって、

   $f\left(x\right)=g\left(x\right)+C$

   (C は定数）

   である。

   （証明終）