数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - コーシーの平均値の定理(Cauchy)の証明、ロルの定理(Rolle)

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、5.(平均値の定理)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   
   $f\left(b\right)-f\left(a\right)=c\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)$

   を満たす実数 c をとる。

   $\phi \left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(a\right)-c\left(g\left(x\right)-g\left(a\right)\right)$

   という関数を考える。

   この関数は、 問題の仮定より閉区間

   $\left[a,b\right]$

   で連続で、開区間

   $\left(a,b\right)$

   で微分可能。

   また、

   $\begin{array}{l}\phi \left(a\right)\\ =f\left(a\right)-f\left(a\right)-c\left(g\left(a\right)-g\left(a\right)\right)\\ =0\\ \phi \left(b\right)\\ =f\left(b\right)-f\left(a\right)-c\left(g\left(b\right)-g\left(b\right)\right)\\ =0\end{array}$

   よって、 ロルの定理(Rolle の定理）より、

   $\begin{array}{l}\phi \text{'}\left(\xi \right)=0\\ a<\xi <b\end{array}$

   を満たす実数が存在する。

   また、

   $\begin{array}{l}\phi \text{'}\left(x\right)\\ =f\text{'}\left(x\right)-cg\text{'}\left(x\right)\end{array}$

   なので、

   $\begin{array}{l}\phi \text{'}\left(\xi \right)=f\text{'}\left(\xi \right)-cg\text{'}\left(\xi \right)=0\\ c=\frac{f\text{'}\left(\xi \right)}{g\text{'}\left(\xi \right)}\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}f\left(b\right)-f\left(a\right)=\frac{f\text{'}\left(\xi \right)}{g\left(\xi \right)}\left(g\left(b\right)-g\left(a\right)\right)\\ a<\xi <b\end{array}$

   を満たす実数が存在する。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, solve

print('2.')

x, c = symbols('x, c')
f = x ** 2
g = x ** 3
a = 2
b = 3
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
g1 = Derivative(g, x, 1).doit()
eq = (f.subs({x: b}) - f.subs({x: a})) - f1.subs({x: c}) / \
    g1.subs({x: c}) * (g.subs({x: b}) - g.subs({x: a}))

pprint(solve(eq, c))
c0 = solve(eq, c)[0]
h = f - f.subs({x: a}) - f1.subs({x: c0}) / \
    g1.subs({x: c0}) * (g - g.subs({x: a}))
p = plot(f, g, h,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⎡38⎤
⎢──⎥
⎣15⎦
%