数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 中間値の定理 - 連続関数、1変数の3次関数

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、7.(中間値の定理)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$

   とおく。

   関数 f は連続関数である。

   また、

   $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b$

   である。

   増減を考える。

   $D=a^2-3b<0$

   の とき、

   $f\text{'}\left(x\right)>0$

   なので、 f は狭義単調増加関数なので、 十分小さい x に対して、

   $f\left(x\right)<0$

   十分大きい x に対して

   $f\left(x\right)>0$

   また、

   $D\ge 0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ x=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-3b}}{3}\end{array}$

   で、増減は

   よって、 同様に十分小さい x、 十分大きい x に対してそれぞれ

   $f\left(x\right)<0,f\left(x\right)>0$

   ゆえに、中間値の定理より

   $\begin{array}{l}f\left(c\right)=0\\ c\in \text{ℝ}\end{array}$

   を満たす実数 c が存在する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve
import random

print('1.')

x, a, b, c = symbols('x, a, b, c', real=True)
f = x ** 3 + a * x ** 2 + b * x + c


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        cs = solve(f, x)
        self.assertTrue(cs)


p = plot(*[f.subs({a: random.randrange(-5, 6),
                   b: random.randrange(-5, 6),
                   c: random.randrange(-5, 6)})
           for _ in range(10)],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.059s

OK
%