数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 3次、方程式、実根を3個の実根をもつためのの必要十分条件、係数、不等式

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問5.の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^3+px+q\\ f\text{'}\left(x\right)=3x^2+p\\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ 3x^2+p=0\\ 3x^2=-p\\ -p>0\\ p<0\\ x=\pm \sqrt{\frac{-p}{3}}\\ f\left(-\sqrt{\frac{-p}{3}}\right)>0\wedge f\left(\sqrt{\frac{-p}{3}}\right)<0\\ \{\begin{array}{l}\frac{p}{3}\sqrt{\frac{-p}{3}}-p\sqrt{\frac{-p}{3}}+q>0\\ -\frac{p}{3}\sqrt{\frac{-p}{3}}+p\sqrt{\frac{-p}{3}}+q<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}-\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{-p}{3}}+q>0\\ \frac{2}{3}p\sqrt{\frac{-p}{3}}+q<0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}q>\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{-p}{3}}\\ q<-\frac{2}{3}p\sqrt{\frac{-p}{3}}\end{array}\end{array}$

   q が非負の場合。

   $\begin{array}{l}q\ge 0\\ q^2<\frac{4}{9}{p}^2·\frac{-p}{3}\\ 4p^3+27q^2<0\end{array}$

   q が負の場合.

   $\begin{array}{l}q<0\\ q^2<\frac{4}{9}p·\frac{-p}{3}\\ 4p^3+27q^2<0\end{array}$

   よって、 方程式

   $x^3+px+q=0$

   が3個の異なる実根をもつための必要十分条件は、

   $4p^3+27q^2<0$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, root

print('5.')

x, q, r = symbols('x, q, r', real=True)
f = x ** 3 + q * x + r
for o in solve(f, x):
    pprint(o)
    print()

qrs = [(-5, 1),
       (-root(6, 3), 1),
       (0, 0)]

p = plot(*[f.subs({q: q0, r: r0}) for q0, r0 in qrs],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py
5.
                                            _____________________________
                                           ╱           _________________ 
                                          ╱           ╱      3        2  
                                         ╱   27⋅r   ╲╱  108⋅q  + 729⋅r   
                                      3 ╱    ──── + ──────────────────── 
                 q                    ╲╱      2              2           
─────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────
      _____________________________                    3                 
     ╱           _________________                                       
    ╱           ╱      3        2                                        
   ╱   27⋅r   ╲╱  108⋅q  + 729⋅r                                         
3 ╱    ──── + ────────────────────                                       
╲╱      2              2                                                 

                                                                      ________
                                                                     ╱        
                                                                    ╱         
                                                   ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱   27⋅r   
                                                   ⎜- ─ - ────⎟⋅3 ╱    ──── + 
                       q                           ⎝  2    2  ⎠ ╲╱      2     
──────────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────
                   _____________________________                          3   
                  ╱           _________________                               
                 ╱           ╱      3        2                                
⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱   27⋅r   ╲╱  108⋅q  + 729⋅r                                 
⎜- ─ - ────⎟⋅3 ╱    ──── + ────────────────────                               
⎝  2    2  ⎠ ╲╱      2              2                                         

_____________________
   _________________ 
  ╱      3        2  
╲╱  108⋅q  + 729⋅r   
──────────────────── 
         2           
─────────────────────
                     
                     
                     
                     
                     
                     

                                                                      ________
                                                                     ╱        
                                                                    ╱         
                                                   ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱   27⋅r   
                                                   ⎜- ─ + ────⎟⋅3 ╱    ──── + 
                       q                           ⎝  2    2  ⎠ ╲╱      2     
──────────────────────────────────────────────── - ───────────────────────────
                   _____________________________                          3   
                  ╱           _________________                               
                 ╱           ╱      3        2                                
⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱   27⋅r   ╲╱  108⋅q  + 729⋅r                                 
⎜- ─ + ────⎟⋅3 ╱    ──── + ────────────────────                               
⎝  2    2  ⎠ ╲╱      2              2                                         

_____________________
   _________________ 
  ╱      3        2  
╲╱  108⋅q  + 729⋅r   
──────────────────── 
         2           
─────────────────────
                     
                     
                     
                     
                     
                     


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