数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 関数値の変動と導関数 - 導関数と符号、極小値、帰納法

微分積分学
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、6.(関数値の変動と導関数)、問6.の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^2-\left(1+2x\right)\\ =1+2x+x^2-1-2x\\ =x^2\\ >0\end{array}$

   また、

   $f\left(x\right)={\left(1+x\right)}^n-\left(1+nx\right)$

   とおく。

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =n{\left(1+x\right)}^{n-1}-n\\ =n\left({\left(1+x\right)}^{n-1}-1\right)\\ >0\\ f\left(0\right)=0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}x>0\\ f\left(x\right)>0\end{array}$

   ゆえに、帰納法により

   $\begin{array}{l}n>1,x>0\\ \Rightarrow {\left(1+x\right)}^n>1+nx\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot

print('6.')

x, n = symbols('x, n', positive=True)
f = (1 + x) ** n
g = 1 + n * x
fs = [f.subs({n: n0}) for n0 in range(2, 7)]
gs = [g.subs({n: n0}) for n0 in range(2, 7)]
for f0, g0 in zip(fs, gs):
    print(bool(f0 - g0))
    print()

p = plot(*fs, *gs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(1, 6),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py
6.
True

True

True

True

True

%