数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 中間値の定理、3次、方程式の実根の個数、増減、導関数

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問3.の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} a > 0 \\ f (x) = x^{3} - a x^{2} - 2 a \\ f' (x) = 3 x^{2} - 2 a x \\ = x (3 x - 2 a) \\ f' (x) = 0 \\ x = 0, \frac{2}{3} a \\ f (0) = - 2 a < 0 \\ 0 < \frac{2}{3} a < a \\ f (a) = a^{3} - a^{3} - 2 a \\ = - 2 a \\ < 0 \end{array}$

よって、方程式

$\begin{array}{l} a > 0 \\ x^{3} - a x^{2} - 2 a = 0 \end{array}$

の実根は a より大きい根がただ1つしか存在しない。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, S

print('3.')

x = symbols('x', real=True)
a = 2
f = x ** 3 - a * x ** 2 - 2 * a


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        xs = [x0 for x0 in solve(f, x) if x0.is_real]
        self.assertEqual(len(xs), 1)
        self.assertGreater(xs[0], a)


p = plot(f.subs({a: 2}),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v
3.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.064s

OK
%

Kamimura's blog

2019年11月24日日曜日

数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 中間値の定理、3次、方程式の実根の個数、増減、導関数

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