数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 狭義単調増加関数、導関数、正、存在、無限個、背理法による証明

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問17.の解答を求めてみる。

17. 
    

    平均値の定理より、

    $\begin{array}{l}a<x<b\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}>0\end{array}$

    を満たす x が 少なくとも 1つは存在する。

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)>0\\ a<x<b\end{array}$

    と満たす x が 有限個であると仮定する。

    その中で最小の x を c とする。

    $f\left(c\right)>f\left(a\right)$

    の場合。

    $a<c$

    なので

    $\begin{array}{l}a<x<c\\ f\text{'}\left(x\right)>0\end{array}$

    を満たす x が存在して矛盾。

    $f\left(c\right)\le f\left(a\right)$

    の場合。

    $f\left(c\right)<f\left(b\right)$

    なので、

    a を c に 置きかえて考えれば、同様に矛盾する。

    よって、

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)>0\\ a<x<b\end{array}$

    なる x は無限に多く存在する。

    （証明終）