数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 近似、誤差、範囲

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問23.の解答を求めてみる。

23. 
    

    平均値の定理より、

    $\begin{array}{l}a<c<a+h\\ f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(c\right)h\end{array}$

    て満たす c が存在し、

    $\begin{array}{l}\left|f\left(a+h\right)-\left(f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)h\right)\right|\\ =\left|\left(f\left(a\right)+f\text{'}\left(c\right)h\right)-\left(f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)h\right)\right|\\ =\left|\left(f\text{'}\left(c\right)-f\text{'}\left(a\right)\right)h\right|\\ =\left|f\text{'}\left(c\right)-f\text{'}\left(a\right)\right|h\\ \le \left(M-m\right)h\end{array}$

    （証明終）