数学 - Pytho - 微分積分学 - 平均値の定理 - 一点を通る直線、x軸とy軸との交点、線分、長さ、最小値

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問14.の解答を求めてみる。

14. 
    

    P の座標を

    $\begin{array}{l}\left(p,0\right)\\ p>0\end{array}$

    Q の座標を

    $\begin{array}{l}\left(0,q\right)\\ q>0\end{array}$

    とおく。

    P 、 Q、点(a, b)を通る直線は、

    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=-\frac{q}{p}\left(x-a\right)+b\\ a>0,b>0\end{array}$

    線分 PQ の長さの2乗

    $p^2+q^2$

    の最小値を求める。

    $\begin{array}{l}f\left(p\right)=-\frac{q}{p}\left(p-a\right)+b=0\\ -q+\frac{q}{p}a+b=0\\ -pq+qa+bp=0\\ \left(a-p\right)q=-bp\\ q=\frac{bp}{p-a}\\ g\left(p\right)=p^2+{\left(\frac{bp}{p-a}\right)}^2\\ =p^2+\frac{b^2{p}^2}{{\left(p-a\right)}^2}\\ g\text{'}\left(p\right)\\ =2p+\frac{2b^{2}p{\left(p-a\right)}^2-b^2{p}^{2}2\left(p-a\right)}{{\left(p-a\right)}^4}\\ =2p\left(1+\frac{b^2\left(p-a-p\right)}{{\left(p-a\right)}^3}\right)\\ =2p\left(1-\frac{a{b}^2}{{\left(p-a\right)}^3}\right)\\ {\left(p-a\right)}^3=a{b}^2\\ p-a={\left(a{b}^2\right)}^{\frac{1}{3}}\\ p=a+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\\ g\left(a+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\right)\\ ={\left(a+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\right)}^2\left(1+\frac{b^2}{{\left(a+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}-a\right)}^2}\right)\\ =a^{\frac{2}{3}}{\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)}^2\left(1+\frac{b^2}{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{4}{3}}}\right)\\ ={\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)}^3\end{array}$

    よって求める 線分の長さの最小値は、

    $\left|PQ\right|={\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, Rational, solveset, Interval

print('14.')

x, m, p = symbols('x, m, p', real=True)
a = 2
b = 3
q = b * p / (p - a)
m = -p / q
f = m * (x - a) + b

p0 = a + a ** Rational(1, 3) * b ** Rational(2, 3)
fs = [f.subs({p: p0 + i}) for i in range(-2, 3)]
p = plot(*fs,
         (x, 0, 10),
         ylim=(0, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

 % ./sample14.py
14.
%