数学 - Pytho - 微分積分学 - 平均値の定理 - 最小値、導関数、不等式の証明

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問15.の解答を求めてみる。

15. 
    

    関数 f を

    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{{\alpha }^p}{p}+\frac{x^q}{q}-\alpha x\\ x\ge 0\\ p>0,q>0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\alpha \ge 0\end{array}$

    とする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}q>1\\ f\text{'}\left(x\right)=x^{q-1}-\alpha \\ f\text{'}\left(x\right)=0\\ x={\alpha }^{\frac{1}{q-1}}\end{array}$

    よって、 関数 f は

    $x={\alpha }^{\frac{1}{q-1}}$

    のとき最小値をとる。

    また、

    $\begin{array}{l}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\ p+q=pq\\ q-1=\frac{q}{p}\\ \frac{q}{q-1}=p\end{array}$

    よって、 関数 f の最小値は、

    $\begin{array}{l}\frac{{\alpha }^p}{p}+\frac{{\alpha }^p}{q}-{\alpha }^p\\ ={\alpha }^p\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1\right)\\ =0\end{array}$

    よって、

    $f\left(x\right)\ge 0$

    ゆえに、 不等式、

    $\alpha \beta \le \frac{{\alpha }^p}{p}+\frac{{\beta }^q}{q}-\alpha \beta$

    が成り立つ。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, Rational, Derivative

print('15.')

x = symbols('x')
alpha = 2
beta = 3
q = 5
p = q / (q - 1)
f = Rational(alpha ** p, p) + x ** q / q - alpha * x
d = Derivative(f, x, 1)

for o in [p, q, d, d.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, d.doit(),
         (x, 0, 5),
         ylim=(-1, 4),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample15.py
15.
1.25

5

  ⎛ 5                         ⎞
d ⎜x          5355712719992597⎟
──⎜── - 2⋅x + ────────────────⎟
dx⎝5          2814749767106560⎠

 4    
x  - 2

%