数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 不定積分の公式 - 関数の和の原始関数と原始関数の和

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、3.(不定積分の公式)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\int a_0\mathrm{dx}=a_{0}x+c$

   また、

   $\begin{array}{l}\int \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k\mathrm{dx}\\ =\int \left(\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k+a_n{x}^n\right)\mathrm{dx}\\ =\int \sum _{k=0}^{n-1}{a}_k\mathrm{dx}+\int a_n{x}^{n}dx\\ =\sum _{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1}+\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}\\ =\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}{x}^{k+1}\end{array}$

   よって、帰納法によりすべての自然数（非負整数）で成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, summation, Integral

print('1.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        n = 10
        x = symbols('x')
        s = Integral(
            sum([symbols(f'a{k}') * x ** k for k in range(n)]), x).doit()
        t = sum([symbols(f'a{k}') * x ** (k + 1) / (k + 1) for k in range(n)])
        self.assertEqual(s, t)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v                       
1.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.126s

OK
%