数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 関数の商の微分、最大値、最小値の存在、背理法

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問21.の解答を求めてみる。

21. 
    
    $g\left(x\right)\ne 0$

    のとき、 関数 h を

    $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

    とおく。

    $g\left(x_1\right)\ne 0,g\left(x_2\right)\ne 0$

    の場合、

    $\begin{array}{l}h\text{'}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}\ne 0\\ h\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_1\right)}{g\left(x_1\right)}=0\\ h\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_2\right)}{g\left(x_2\right)}=0\end{array}$

    が成り立つ。

    $\begin{array}{l}{x}_1<x_3<x_2\\ g\left(x_3\right)=0\end{array}$

    を満たす

    $x_3$

    が存在しないと仮定する。

    $x_1\le x\le x_2$

    で微分可能で連続、 そして、

    $\begin{array}{l}h\left(x_1\right)=0\\ h\left(x_2\right)=0\\ h\text{'}\left(x\right)\ne 0\end{array}$

    なので、 開区間

    $\left[x_1,x_2\right]$

    で最大値、最小値が存在する。

    最大値をとる x の値について、

    $x\ne x_1,x\ne x_2$

    ならば、

    $\begin{array}{l}{x}_1<x<x_2\\ h\text{'}\left(x\right)=0\end{array}$

    よって矛盾。

    また、

    $x=x_1$

    の場合、 最大値は0で、

    $x_2$

    でも最大となる。

    このとき、最小値をとる

    $x_4$

    について、

    $\begin{array}{l}{x}_1\le x_4\le x_2\\ h\text{'}\left(x_4\right)=0\end{array}$

    よって矛盾。

    $x=x_2$

    の場合も同様に矛盾。

    $g\left(x_1\right)=0$

    と仮定すると、

    $f\text{'}\left(x_1\right)g\left(x_1\right)-f\left(x_1\right)g\text{'}\left(x_1\right)=0$

    となり、 問題の仮定に反するので、

    $g\left(x_1\right)\ne 0$

    である。同様に、

    $g\left(x_2\right)\ne 0$

    である。

    ゆえに、関数 f、 g が微分可能かつ

    $f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)\ne 0$

    とするとき、

    $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0,x_1<x_2$

    ならば

    $\begin{array}{l}g\left(x_3\right)=0\\ x_1<x_3<x_2\end{array}$

    となる

    $x_3$

    が存在する。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solveset, Derivative, Interval

print('21.')

x = symbols('x', real=True)
x1 = -2
x2 = 3
f = (x - x1) * (x - x2)
g = x
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
g1 = Derivative(g, x, 1).doit()


class MyTestCase(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertNotEqual(f1 * g - f * g1, 0)

    def test2(self):
        s = solveset(g, domain=Interval.open(x1, x2))
        self.assertGreater(len(s), 0)
        self.assertEqual(g.subs({x: list(s)[0]}), 0)


p = plot(f, g, f1 * g - f * g1,
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample21.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample21.py -v
21.
test1 (__main__.MyTestCase) ... ok
test2 (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.004s

OK
%