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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問18.の解答を求めてみる。
とする。
関数 f は微分可能なので連続。 よって、 閉区間
で最大値、最小値が存在する。
最小値をとる区間内の x の1つを d とする。
このとき、
ならば、
なので、
である。
と仮定すると、
なので、
をしたですが存在し、 点 d で最小値をとるという ことと矛盾。
よって、
ではない。
同様にして
でもない。
また、
の 場合、 最小値ではなく最大値について上記と同様に考えれば、
を満たす c が存在する。
(証明終)
コード
#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Derivative
print('18.')
x = symbols('x', real=True)
f = x ** 2
a = -1
b = 2
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
xs = solve(f1, x)
c = xs[0]
class MyTestCase(TestCase):
def test(self):
self.assertGreater(len(xs), 0)
self.assertTrue(a < c < b)
p = plot(f, f1, f.subs({x: c}),
(x, -5, 5),
ylim=(-5, 5),
legend=True,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color
p.show()
p.save('sample18.png')
if __name__ == '__main__':
main()
入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
% ./sample18.py -v
18.
test (__main__.MyTestCase) ... ok
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s
OK
%
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