数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 微分可能な関数、異符号、最大値、最小値、閉区間、開区間

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問18.の解答を求めてみる。

18. 
    
    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(a\right)<0\\ f\text{'}\left(b\right)>0\end{array}$

    とする。

    関数 f は微分可能なので連続。 よって、 閉区間

    $\left[a,b\right]$

    で最大値、最小値が存在する。

    最小値をとる区間内の x の1つを d とする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}d\ne a\\ d\ne b\\ d\in \left(a,b\right)\end{array}$

    ならば、

    $f\text{'}\left(d\right)=0$

    なので、

    $\begin{array}{l}f\left(d\right)=0\\ a<d<b\end{array}$

    である。

    $d=a$

    と仮定すると、

    $f\text{'}\left(d\right)<0$

    なので、

    $\begin{array}{l}a<x<b\\ f\left(d\right)>f\left(x\right)\end{array}$

    をしたですが存在し、 点 d で最小値をとるという ことと矛盾。

    よって、

    $d\ne a$

    ではない。

    同様にして

    $d=b$

    でもない。

    また、

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(a\right)>0\\ f\text{'}\left(b\right)<0\end{array}$

    の 場合、 最小値ではなく最大値について上記と同様に考えれば、

    $\begin{array}{l}a<c<b\\ f\text{'}\left(c\right)=0\end{array}$

    を満たす c が存在する。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Derivative

print('18.')

x = symbols('x', real=True)
f = x ** 2
a = -1
b = 2
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
xs = solve(f1, x)
c = xs[0]


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertGreater(len(xs), 0)
        self.assertTrue(a < c < b)


p = plot(f, f1, f.subs({x: c}),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample18.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample18.py -v
18.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s

OK
%