数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 関数と導関数の比が等しい関数、定数倍、関数の商の微分

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問20.の解答を求めてみる。

20. 
    
    $h\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

    とおく。

    このとき、

    $\begin{array}{l}h\text{'}\left(x\right)\\ =\frac{f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}\end{array}$

    また、

    $\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

    なので、

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)=f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)\\ f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)\\ h\text{'}\left(x\right)=0\end{array}$

    よって、 h は定数関数である。その定数の値をC とおけば、

    $\begin{array}{l}h\left(x\right)=C\\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=C\\ f\left(x\right)=Cg\left(x\right)\end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Derivative

print('20.')

x = symbols('x', real=True)
f = x ** 2
g = 2 * f
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
g1 = Derivative(g, x, 1).doit()


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(f1 / f, g1 / g)


p = plot(f, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(0, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample20.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample20.py
20.
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.002s

OK
%