数学 - 微分積分学 - 積分法 - 定積分と面積 - 過剰和、下界、上限、上積分、平方、立方

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、10.(定積分と面積)、問1.の解答を求めてみる。

閉区間

$[a, b]$

を小さい区間

$\begin{array}{l} [a, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], \dots \\ [x_{n - 2}, x_{n - 1}], [x_{n - 1}, b] \\ a = x_{0}, b = x_{n} \end{array}$

に分割し、各閉区間における連続関数

$f (x) = x^{2}$

の最大値をそれぞれ

$M_{1}, \dots, M_{n}$

とする。

場合分け。

$a \geq 0$

のとき、

$M_{i} = x_{i} (i = 1, \dots, n)$

なので、分割の過剰和について、

$\begin{array}{l} S \\ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} (x_{i} - x_{i - 1}) \\ > \sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}^{2} + x_{i} x_{i - 1} + x_{i - 1}^{2}}{3} (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = \frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{3} - x_{i - 1}^{3}) \\ = \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3}) \end{array}$

よって、

$\frac{1}{3} (b^{3} - a^{3})$

は過剰和すべての集合の下界である。

閉区間を n 等分した分割を考える。

この分割に対する過剰和は、

$\begin{array}{l} S_{n} \\ = \sum_{k = 1}^{n} {(a + k h)}^{2} h \\ = \sum_{k = 1}^{n} (a^{2} h + 2 a k h^{2} + k^{2} h^{3}) \\ = a^{2} n h + 2 a h^{2} \sum_{k = 1}^{n} k + h^{3} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} \\ = a^{2} (b - a) + 2 a h^{2} \cdot \frac{n + 1}{2} + h^{3} \cdot \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) \\ = a^{2} (b - a) + a n h^{2} + a h^{2} + \frac{1}{6} n h (n h + h) (2 n h + h) \\ = a^{2} (b - a) + a h (b - a) + a h^{2} \\ + \frac{1}{6} (b - a) ((b - a) + h) (2 (b - a) + h) \\ = \frac{b^{3} - a^{3}}{3} + A h \\ A > 0 \end{array}$

よって、任意の正の実数

$ε > 0$

に対して、ある自然数 N が存在して、

$n \geq N$

ならば

$S_{n} < \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3}) + ε$

よって、

$\frac{1}{3} (b^{3} - a^{3})$

は過剰和の下限である。

ゆえに、

$\int_{a}^{\frac{}{b}} x^{2} dx = \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3})$

同様にして、

$b < 0$

のとき

$\int_{a}^{\frac{}{b}} x^{2} dx = \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3})$

また

$a \leq 0, 0 \leq b$

のとき、

$\begin{array}{l} \int_{a}^{\frac{}{b}} x^{2} dx \\ = \int_{a}^{\frac{}{0}} x^{2} dx + \int_{0}^{\frac{}{b}} x^{2} dx \\ = \frac{1}{3} (0 - a^{3}) + \frac{1}{3} (b^{3} - 0^{3}) \\ = \frac{1}{3} (b^{3} - a^{3}) \end{array}$

Kamimura's blog

2020年3月3日火曜日

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