2020年3月29日日曜日

学習環境

微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、12.(平面曲線の長さ)、問3.の解答を求めてみる。


  1. C (a, b) を正則曲線とする。

    t 0 , t 1 , , t n - 1 , t n t 0 = a t n = b

    を閉区間[a, b] の任意の分割とする。

    正則弧をつなぎ合わせたある点 a が分点ではない場合、

    t i < a < t i + 1

    とすれば、

    t 0 , t 1 , , t i , a , a , t i + 1 , , t n - 1 , t n

    という分割を考える。

    すべての 正則弧をつなぎ合わせた点について同様に考え、それらの点による分割を

    s 0 , s 1 , . . . , s m - 1 , s m

    とし、その折れ線の長さを p、正則曲線の各正則弧を

    C 1 s 0 , s 1 , , C m s m - 1 , s m

    とすると、

    p k = 1 m C k s k - 1 , s k

    各正則弧は長さを有するので、 正則曲線の任意の分割に対する折れ線の長さは上に有界である。

    よって、正則曲線は長さを有する。

    (証明終)

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