数学 - 微分積分学 - 積分法 - 平面曲線の長さ - 正則弧、正則曲線、長さの存在、分割、折れ線、上に有界かどうか

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、12.(平面曲線の長さ)、問3.の解答を求めてみる。

3. 
   

   C (a, b) を正則曲線とする。

   $\begin{array}{l}\left[t_0,t_1\right],\dots ,\left[t_{n-1},t_n\right]\\ t_0=a\\ t_n=b\end{array}$

   を閉区間[a, b] の任意の分割とする。

   正則弧をつなぎ合わせたある点 a が分点ではない場合、

   $t_i<a<t_{i+1}$

   とすれば、

   $\left[t_0,t_1\right],\dots ,\left[t_i,a\right],\left[a,t_{i+1}\right],\dots ,\left[t_{n-1},t_n\right]$

   という分割を考える。

   すべての 正則弧をつなぎ合わせた点について同様に考え、それらの点による分割を

   $\left[s_0,s_1\right],...,\left[s_{m-1},s_m\right]$

   とし、その折れ線の長さを p、正則曲線の各正則弧を

   $C_1\left(s_0,s_1\right),\dots ,C_m\left(s_{m-1},s_m\right)$

   とすると、

   $p\le \sum _{k=1}^m{C}_k\left(s_{k-1},s_k\right)$

   各正則弧は長さを有するので、 正則曲線の任意の分割に対する折れ線の長さは上に有界である。

   よって、正則曲線は長さを有する。

   （証明終）