数学 - 微分積分学 - 積分法 - 平面曲線の長さ - 閉区間、分割、折れ線、有界、上限、弧の長さ、加法性

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、12.(平面曲線の長さ)、問1.の解答を求めてみる。

1. 
   
   $s\left(a,c\right)$

   は a から c への折れ線の長さの上限、

   $s\left(c,b\right)$

   は c から b への 折れ線の長さの上限なので、

   $s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)\le s\left(a,b\right)$

   また、

   $\left[a,t_1\right],\left[t_1,t_2\right],\dots ,\left[t_{n-2},t_{n-1}\right],\left[t_{n-1},b\right]$

   を閉区間[a, b] の任意の分割とする。

   場合分け。

   c がいずれの分点と一致している場合、

   $\begin{array}{l}{t}_i=c\\ a=t_0,b=t_n\\ \sum _{k=1}^i\sqrt{{\left(\phi \left(t_k\right)-\phi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2+{\left(\psi \left(t_k\right)-\psi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2}\le s\left(a,c\right)\\ \sum _{k=i+1}^n\sqrt{{\left(\varphi \left(t_k\right)-\phi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2+{\left(\psi \left(t_k\right)-\psi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2}\le s\left(c,b\right)\end{array}$

   より

   $\sum _{k=1}^n\sqrt{{\left(\phi \left(t_k\right)-\phi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2+{\left(\psi \left(t_k\right)-\psi \left(t_{k-1}\right)\right)}^2}\le s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)$

   よって、

   $s\left(a,b\right)\le s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)$

   c がいずれの分点とも一致していない場合、 ある i が存在して、

   $t_i<c<t_{i+1}$

   よって、閉区間

   $\left[t_i,t_{i+1}\right]$

   さらに

   $\left[t_i,c\right],\left[c,t_{i+1}\right]$

   した[a, b] の 分割を考えれば、いずれかの分点と一致する場合と同様にして、

   $s\left(a,b\right)\le s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)$

   ゆえに、

   $s\left(a,b\right)=s\left(a,c\right)+s\left(c,b\right)$

   という等式が成り立つ。

   （証明終）