数学 - 微分積分学 - 積分法 - 平面曲線の長さ - 正則弧、狭義増加関数、逆関数

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、12.(平面曲線の長さ)、問4.の解答を求めてみる。

4. 
   
   $s={\int }_a^t\sqrt{{\left(\phi \left(\tau \right)\right)}^2+{\left(\psi \left(\tau \right)\right)}^2}d\tau$

   の逆関数を

   $h\left(s\right)$

   とおく。

   $\begin{array}{l}x\\ =\phi \left(h\left(s\right)\right)\\ =f\left(s\right)\\ y\\ =\psi \left(h\left(s\right)\right)\\ =g\left(s\right)\\ f\text{'}\left(s\right)\\ =\phi \text{'}\left(h\left(s\right)\right)h\text{'}\left(s\right)\\ =\phi \text{'}\left(t\right)h\text{'}\left(s\right)\\ g\text{'}\left(s\right)\\ =\psi \text{'}\left(h\left(s\right)\right)h\text{'}\left(s\right)\\ =\psi \text{'}\left(t\right)h\text{'}\left(s\right)\\ {\left(f\text{'}\left(s\right)\right)}^2+{\left(g\text{'}\left(s\right)\right)}^2\\ =\left({\left(\phi \text{'}\left(t\right)\right)}^2+{\left(\psi \text{'}\left(t\right)\right)}^2\right){\left(h\text{'}\left(s\right)\right)}^2\\ =\frac{\phi \text{'}{\left(t\right)}^2+\psi \text{'}{\left(t\right)}^2}{{\left(\sqrt{\phi \text{'}{\left(t\right)}^2+\psi \text{'}{\left(t\right)}^2}\right)}^2}\\ =1\end{array}$

   （証明終）