数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 合成微分律と勾配ベクトル - 球面上の2点、逆向きな単位ベクトル、微分可能な曲線、垂直、内積、零

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第20章(合成微分律と勾配ベクトル)、1(合成微分律)の練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    A て P に垂直な単位ベクトルとする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}A·P=0\\ A·\left(-Q\right)=0\\ A-Q=0\end{array}$

    2つの曲線

    $\begin{array}{l}0\le t\le 1\\ F\left(t\right)=\left(\cos t\right)A+\left(\sin t\right)P\\ G\left(t\right)=\left(\cos t\right)A+\left(\sin t\right)Q\end{array}$

    を考えると、 F、 G は原点を中心とする半径1の球面上の曲線で、 問11よりF は点 A、 P を、 G は点 A、 Qを 結ぶ曲線 なので、2つを合わせた曲線は、この球面上にあって点P、Q を結ぶ 微分可能な曲 線である。

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Matrix, sqrt, sin, cos, pi
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

print('14.')

t = symbols('t')
p = Matrix([sin(pi / 4) * cos(pi / 4),
            sin(pi / 4) * sin(pi / 4),
            cos(pi / 4)])
q = -p
a = Matrix([sin(pi / 4) * cos(pi / 4),
            sin(pi / 4) * cos(pi / 4),
            cos(3 * pi / 4)])
f = cos(t) * a + sin(t) * p
g = cos(t) * a + sin(t) * q


class Test(TestCase):
    def test_a_norm(self):
        self.assertEqual(p.norm(), 1)

    def test_a_dot_p(self):
        self.assertEqual(a.dot(p), 0)

    def test_a_dot_q(self):
        self.assertEqual(a.dot(q), 0)


pp = plot3d_parametric_line(*[(*h, (t, 0, 1))
                              for h in [g, f]],
                            xlim=(-1, 1),
                            ylim=(-1, 1),
                            legend=True,
                            show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(pp, colors):
    o.line_color = color
pp.show()
pp.save('sample14.png')

if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample14.py -v
14.
test_a_dot_p (__main__.Test) ... ok
test_a_dot_q (__main__.Test) ... ok
test_a_norm (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.002s

OK
%