数学 - 微分積分学 - 積分法 - 有界変動の関数 - 増加関数

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、13.(有界変動の関数)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\epsilon$

   を任意の正の実数とする。

   $\epsilon >0$

   このとき、

   $\begin{array}{l}g\left(x+\epsilon \right)-g\left(x\right)\\ =\frac{T_f\left(a,x+\epsilon \right)+f\left(x+\epsilon \right)}{2}-\frac{T_f\left(a,x\right)+f\left(x\right)}{2}\\ =\frac{T_f\left(a,x+\epsilon \right)-T_f\left(a,x\right)}{2}+\frac{f\left(x+\epsilon \right)-f\left(x\right)}{2}\\ =\frac{T_f\left(x,x+\epsilon \right)}{2}+\frac{f\left(x+\epsilon \right)-f\left(x\right)}{2}\end{array}$

   また、

   $\left|f\left(x+\epsilon \right)-f\left(x\right)\right|\le T_f\left(x,x+\epsilon \right)$

   なので、

   $\begin{array}{l}g\left(x+\epsilon \right)-g\left(x\right)\\ \ge \frac{T_f\left(x,x+\epsilon \right)}{2}-\frac{T_f\left(x,x+\epsilon \right)}{2}\\ =0\end{array}$

   よって、 g は増加関数である。

   $\begin{array}{l}h\left(x+\epsilon \right)-h\left(x\right)\\ =\frac{T_f\left(a,x+\epsilon \right)-f\left(x+\epsilon \right)}{2}-\frac{T_f\left(a,x\right)-f\left(x\right)}{2}\\ =\frac{T_f\left(a,x+\epsilon \right)-T_f\left(a,x\right)}{2}-\frac{f\left(x+\epsilon \right)-f\left(x\right)}{2}\\ \ge \frac{T_f\left(x,x+\epsilon \right)}{2}-\frac{T_f\left(x,x+\epsilon \right)}{2}\\ =0\end{array}$

   よって、 h は増加関数である。

   （証明終）