数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 像と核、恒等写像、像の直和、作用素

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   問1と (c) より、 V は 線形写像

   $P_1,P_2$

   の核と像の直和である。

   $\begin{array}{l}V=P_1\left(V\right)+\ker P_1\\ V=P_2\left(V\right)+\ker P_2\end{array}$

   また、 (b) より

   $P_1,P_2$

   の像はそれぞれ

   $P_2,P_1$

   の核の部分集合で ある。

   $\begin{array}{l}{P}_1\left(V\right)\subset \ker P_2\\ P_2\left(V\right)\subset \ker P_1\end{array}$

   また、 v をベクトル空間 V の任意の元とする。

   v が

   $P_1,P_2$

   の像の共通部分の元とする。

   $v\in P_1\left(V\right)\cap P_2\left(V\right)$

   このとき、

   $\begin{array}{l}{P}_1\left(v\right)=O\\ P_2\left(v\right)=O\end{array}$

   また、 (a) より

   $\begin{array}{l}\left(P_1+P_2\right)\left(v\right)=I\left(v\right)\\ P_1\left(v\right)+P_2\left(v\right)=v\\ O+O=v\\ v=O\end{array}$

   よって、 V は

   $P_1,P_2$

   のそれぞれの像の直和である。

   （証明終）