数学 - 線形代数学 - 線形写像 - 線形写像の合成 - 2つの作用素、一方の像と一方の核、一致、十分条件

ラング線形代数学(上)
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の4章(線形写像)、5(線形写像の合成)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   a を

   $P_1$

   の像の任意の元とする。

   このとき、 ある V の元 b が存在して

   $P_1\left(b\right)=a$

   また 問2の(b) より

   $\begin{array}{l}\left(P_2\circ P_1\right)\left(b\right)=O\\ P_2\left(P_1\left(b\right)\right)=O\\ P_2\left(a\right)=O\end{array}$

   よって a は

   $P_2$

   の核の元である。

   ゆえに

   $P_1\left(V\right)\subset \ker P_2$

   a を

   $P_2$

   の核の任意の元とすると、

   $P_2\left(a\right)=O$

   問2の(a) より

   $\begin{array}{l}\left(P_1+P_2\right)\left(a\right)=I\left(a\right)\\ P_1\left(a\right)+P_2\left(a\right)=a\\ P_1\left(a\right)+O=a\\ P_1\left(a\right)=a\end{array}$

   よって、 a は

   $P_1$

   の像の元なので、

   $\ker P_2\subset P_1\left(V\right)$

   ゆえに、

   $P_1\left(V\right)=\ker P_2$

   である。

   （証明終）