数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 有界変動の関数 - 全変動、加法性、分割、分点、上界、上限、等式の証明

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、13.(有界変動の関数)、問1.の解答を求めてみる。

$a = x_{0} < \dots < x_{n} = b$

なる任意の分割を考える。

c が分点に存在する場合。

$\begin{array}{l} t_{f} (x_{0}, \dots, x_{n}) \\ = t_{f} (a, \dots, c) + t_{f} (c, \dots, b) \\ \leq T_{f} (a, c) + T_{f} (c, b) \end{array}$

c が分点に存在しない場合。

$x_{i} < c < x_{i + 1}$

とするし、

$a = x_{0} < \dots < x_{i} < c < x_{i + 1} < \dots < x_{n} = b$

という分割を考えれば、上記と同様に、

$\begin{array}{l} t_{f} (x_{0}, \dots, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}) \\ \leq t_{f} (a, \dots, x_{i}, c, x_{i + 1}, \dots, b) \\ = t_{f} (a, \dots, c) + t_{f} (c, \dots, b) \\ \leq T_{f} (a, c) + T_{f} (c, b) \end{array}$

よって、

$T_{f} (a, b) \leq T_{f} (a, c) + T_{f} (c, b)$

また、

$\begin{array}{l} a = x_{0} < \dots < x_{k} = c \\ c = x_{k} < \dots < x_{n} = b \end{array}$

という任意の分割に対して、

$\begin{array}{l} t_{f} (a, \dots, c) + t_{f} (c, \dots, b) \\ = t_{f} (a, \cdot, c, \dots, b) \\ \leq T_{f} (a, b) \end{array}$

よって、

$T_{f} (a, c) + T_{f} (c, b) \leq T_{f} (a, b)$

ゆえに、

$T_{f} (a, c) + T_{f} (c, b) = T_{f} (a, b)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, cos, pi
from sympy.plotting import plot_parametric

print('1.')

t = symbols('t')
f = t
g = t * cos(pi / t)
p = plot_parametric(f, g,
                    (t, 0.00001, 1),
                    xlim=(0, 2),
                    ylim=(-1, 1),
                    show=False)
p.show()
p.save(f'sample1.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py
1.
%

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2020年5月5日火曜日

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