数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 定積分の計算、部分積分法、累乗、累乗根

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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、演習問題13、14、15、16、17.の解答を求めてみる。

$\int_{0}^{a} (a^{2} x - x^{3}) dx$

$= {[\frac{a^{2}}{2} x^{2} - \frac{1}{4} x^{4}]}_{0}^{a}$

$= \frac{a^{4}}{4}$
$\int_{0}^{a} {(\sqrt{a} - \sqrt{t})}^{2} dt$

$= \int_{0}^{a} (a - 2 \sqrt{a} \sqrt{t} + t) dt$

$= a^{2} - 2 \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} {[t^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{a} + \frac{1}{2} {[t^{2}]}_{0}^{a}$

$= a^{2} - \frac{4}{3} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2}$

$= \frac{6 - 8 + 3}{6} a^{2}$

$= \frac{a^{2}}{6}$
$\int_{0}^{1} \frac{x dx}{\sqrt{x^{2} + 4}}$

$= {[\sqrt{x^{2} + 4}]}_{0}^{1}$

$= \sqrt{5} - 2$
$\int_{0}^{1} z^{2} \sqrt{1 - z} dz$

$= {[z^{2} (- \frac{2}{3} {(1 - z)}^{\frac{3}{2}})]}_{0}^{1} + \frac{4}{3} \int_{0}^{1} z {(1 - z)}^{\frac{3}{2}} dz$

$= \frac{4}{3} ({[z (- \frac{2}{5} {(1 - z)}^{\frac{5}{2}})]}_{0}^{1} + \frac{2}{5} \int_{0}^{1} {(1 - z)}^{\frac{5}{2}} dz)$

$= \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} (- \frac{2}{7}) {[{(1 - z)}^{\frac{7}{2}}]}_{0}^{1}$

$= \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7}$

$= \frac{16}{105}$
$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} dx$

$= x^{2} \sqrt{x^{2} + a^{2}} - \int 2 x \sqrt{x^{2} + a^{2}} dx$

$= x^{2} \sqrt{x^{2} + a^{2}} - \frac{2}{3} {(x^{2} + a^{2})}^{\frac{3}{2}}$

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} dx$

$= {[x^{2} \sqrt{x^{2} + a^{2}} - \frac{2}{3} {(x^{2} + a^{2})}^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{a}$

$= \sqrt{2} a^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2 a^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$

$= \sqrt{2} a^{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot a^{3} + \frac{2}{3} \cdot a^{3}$

$= (\sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}) a^{3}$

$= \frac{2 - \sqrt{2}}{3} a^{3}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import Integral, symbols, sqrt, Rational from sympy.abc import a, x print('13、14、15、16、17.') class Test(TestCase): def test(self): ap = symbols('a', positive=True) fs = [a ** 2 * x - x ** 3, (sqrt(ap) - sqrt(x)) ** 2, x / sqrt(x ** 2 + 4), x ** 2 * sqrt(1 - x), x ** 3 / sqrt(x ** 2 + ap ** 2)] xs = [(0, a), (0, ap), (0, 1), (0, 1), (0, ap)] ds = [a ** 4 / 4, ap ** 2 / 6, sqrt(5) - 2, Rational(16, 105), (2 - sqrt(2)) / 3 * ap ** 3] for i, (f, (x1, x2), d) in enumerate(zip(fs, xs, ds), 13): print(f'({i})') self.assertEqual(Integral(f, (x, x1, x2)).doit().simplify(), d.simplify()) if __name__ == "__main__": main()

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2020年8月7日金曜日

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