数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数の加減乗除 - 連続関数とその絶対値の和、符号、零

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、2.(連続関数の加減乗除)、問2.の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\phi \left(x\right)>0,\phi \left(x+h\right)\ge 0$

   の場合。

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow \phi \left(x+h\right)-\phi \left(x\right)\\ =f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\to 0\end{array}$

   また、

   $\phi \left(x\right)<0,\phi \left(x+h\right)<0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow \phi \left(x+h\right)-\phi \left(x\right)\\ =0-0\\ =0\to 0\end{array}$

   また、

   $\phi \left(x\right)=0,\phi \left(x+h\right)>0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow \phi \left(x+h\right)-\phi \left(x\right)\\ =f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\to 0\end{array}$

   また、

   $\phi \left(x\right)=0,\phi \left(x+h\right)<0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow \phi \left(x+h\right)-\phi \left(x\right)\\ =0-0\\ =0\end{array}$

   よって、 問1の関数も連続である。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit

print('2.')

x = symbols('x', real=True)
f = x ** 3 - 5 * x ** 2 + x + 5
g = (abs(f) + f) / 2

for o in [f, g]:
    pprint(o)
    print()


p = plot(f, g,
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
 3      2        
x  - 5⋅x  + x + 5

 3      2       │ 3      2        │    
x    5⋅x    x   │x  - 5⋅x  + x + 5│   5
── - ──── + ─ + ─────────────────── + ─
2     2     2            2            2

%