数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 一般化、ダルブーの定理(Darbouxの定理)

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問19.の解答を求めてみる。

19. 
    
    $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\mu x$

    とおく。

    このとき、 f は微分可能なので g は徴分可能で、

    $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-\mu$

    である。
    よって、

    $\begin{array}{l}g\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)-\mu \\ g\text{'}\left(b\right)=f\text{'}\left(b\right)-\mu \end{array}$

    となる。

    問題の仮定、

    $f\text{'}\left(a\right)<\mu <f\text{'}\left(b\right)$

    なので、

    $\begin{array}{l}g\text{'}\left(a\right)=f\text{'}\left(a\right)-\mu <0\\ g\text{'}\left(b\right)=f\text{'}\left(b\right)-\mu >0\end{array}$

    よって、

    $g\text{'}\left(a\right)g\text{'}\left(b\right)<0$

    よって問題18の結果より、

    $\begin{array}{l}g\text{'}\left(c\right)=0\\ a<c<b\end{array}$

    となる c が存在する。

    この c について、

    $\begin{array}{l}g\text{'}\left(c\right)=0\\ f\text{'}\left(c\right)-\mu =0\\ f\text{'}\left(c\right)=\mu \end{array}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, Derivative

print('19.')

x = symbols('x', real=True)
u = 3
f = x ** 2 + u * x
a = -1
b = 2
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
xs = solve(f1 - u, x)
c = xs[0]


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertGreater(len(xs), 0)
        self.assertTrue(a < c < b)
        self.assertEqual(f1.subs({x: c}), u)


p = plot(f, f1, f1.subs({x: c}),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample19.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample19.py
19.
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s

OK
%