数学 - Python - 微分積分学 - 平均値の定理 - 平方根、近似、誤差、範囲

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、演習問題Ⅲ、問24.の解答を求めてみる。

24. 
    

    関数 f を

    $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

    とする。
    このとき、

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ f\text{'}\left(1\right)=\frac{1}{2}=0.5\\ a=1\\ h=0.01\\ a+h=1.01\\ f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)h\\ =1+\frac{1}{2}·0.01\\ =1.005\end{array}$

    また、

    $1=a\le x<a+h=1.01$

    となる x に対して、

    $\begin{array}{l}0.4975\\ \le \frac{1}{2\sqrt{1.01}}\\ \le f\text{'}\left(x\right)\\ \le \frac{1}{2}\\ =0.5\end{array}$

    よって 問23の結果より、 誤差の絶対値は

    $\begin{array}{l}\left(0.5-0.4975\right)h\\ =0.0025·0.01\\ =0.000025\end{array}$

    より 小さい。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, sqrt, plot, Derivative

print('24.')

x = symbols('x', real=True)
f = sqrt(x)
a = 1
g = f.subs({x: a}) + Derivative(f, x, 1).doit().subs({x: 1}) * (x - a)


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        self.assertLess(abs(sqrt(1.01) - 1.005), 0.000025)


p = plot(f, g,
         (x, 0, 2),
         ylim=(0, 2),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample24.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py -v
24.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s

OK
%